La operación de potencia se indica así:
"a" se denomina
base, y "n" se llama
exponente.
El significado es simple: se trata de multiplicar la base "a" por sí misma la cantidad de veces que indique "n".
¿Y cuando el exponente es negativo?
La respuesta es menos obvia pero simple, también:
Ejemplo:
Potencia de fracciones
Hay que multiplicar la fracción por sí misma.
Potencia de números negativos
En multiplicación, hay un par de reglas referidas a los signos de los factores:
- Multiplicar dos números del mismo signo, da un resultado positivo.
- Multiplicar dos números de diferente signo, da un resultado negativo.
(-2).(-2) = 4(-2).2 = -4
(-2).2.(-2) = 8
Como la potencia es una serie de multiplicaciones, también obedece esta regla de los signos.
Cuando un número negativo se eleva a una potencia par, el resultado es positivo, pero si se eleva a una potencia impar, el resultado es negativo.
Si les interesa, debajo se explica de dónde salen estas reglas:
Ya que la primera multiplicación (-2 al cuadrado) será de signo positivo, pero la siguiente multiplicación por -2 (para calcular el cubo) será nuevamente de signo negativo.
En cambio, repitamos el ejemplo anterior pero elevado a 4, que es un exponente par:
El primer (-2).(-2) (mismo signo) da 4 (positivo), al multiplicar 4 por el tercer -2 (diferentes signos) nos da -8 (signo negativo) y al multiplicar -8 por el cuarto -2 (mismo signo) termina dando 16 (positivo).
¡Los dos ejemplos de arriba tienen un error!
Y no lo corregí para que se te grabe:
Cuando la base de la potencia es un número negativo, se escribe entre paréntesis.
De lo contrario debe interpretarse como que el signo negativo debe modificar el resultado de la potencia.
Potencia de fracciones negativas
Se procede según lo visto. Se multiplica el numerador por sí mismo y el denominador por sí mismo, las veces indicadas por el exponente, y obedeciendo la regla de los signos.
Potencia de operaciones entre paréntesis
Se resuelve la operación dentro de los paréntesis, luego se hace la potencia del resultado.
Teoremas de los exponentes
Este es uno de los temas que me agradan. Los teoremas sirven como herramientas para resolver algunas operaciones de potenciación en una manera más simple o más ingeniosa.
Para ejemplo basta con el primero que veremos:
Multiplicación de potencias de igual base
Esto significa: cuando se multiplican dos potencias de igual base, se obtiene el mismo resultado si se eleva la base a la suma de los exponentes.
Prueba:
Si se encuentra una base elevada a una suma, llegado el caso puede ser útil expresarla como una multiplicación.
INCLUSO cualquier potencia puede transformarse, si es útil para continuar operando, en un producto. La única condición es que los exponentes del producto, sumados, sean iguales al exponente original.
División de potencias de igual base
Esto significa: cuando se dividen dos potencias de igual base, se obtiene el mismo resultado si se eleva la base a la resta de los exponentes.
Prueba:
Exponente 0
Cualquier número elevado al exponente 0 da 1. Excepto 0, claro.
Hay una explicación para esto:
Y es que según el teorema de la división de potencias de igual base:
Y así con cualquier número. Es la explicación que dan los libros de matemáticas y tiene sentido.
Exponente 1
Cualquier número elevado a la potencia 1 da el mismo número.
La fórmula completa se lee: "a elevado a la 1 resulta en a para todo a que pertenezca al conjunto de los números reales".
Esta aclaración es necesaria porque hay otros números por fuera de los números reales donde no se cumple el teorema.
Exponente negativo
Un número
a elevado a la potencia
-n, es igual a 1 sobre
a elevado a la
n. A debe ser distinto de 0, ya que la división por 0 no está definida.
Exponente racional (fraccionario)
Un número a elevado a la fracción m sobre n, es igual a la raíz n de a elevado a la m.
Potencia de potencia
Esto significa:
cuando se debe elevar a un exponente "n" el resultado de elevar previamente a un exponente "m", se obtiene el mismo resultado elevando a "m.n".
Prueba:
Potencia de multiplicación
Esto significa:
un producto elevado a un exponente "m" es igual que el producto de cada factor elevado al exponente "m".Prueba:
Potencia de división
Esto significa:
elevar al exponente "m" el resultado de "a" sobre "b" es lo mismo que hacer "a" elevado a "m" sobre "b" elevado a "m".
Prueba:
Esta propiedad también puede decirse: la potencia de una fracción es una fracción de potencias
Resumen
Los teoremas que hemos visto son:
- Multiplicación de potencias de igual base
- cuando se multiplican dos potencias de igual base, se obtiene el mismo resultado si se eleva la base a la suma de los exponentes.
- División de potencias de igual base
- cuando se dividen dos potencias de igual base, se obtiene el mismo resultado si se eleva la base a la resta de los exponentes.
- Exponente 0
- cualquier número elevado al exponente 0 da 1.
- Exponente 1
- cualquier número elevado al exponente 1 da el mismo número.
- Exponente negativo
- cualquier número elevado a un exponente negativo da el mismo resultado que 1 sobre el número elevado al mismo exponente (pero positivo)
- Exponente racional (fraccionario)
- cualquier número elevado a una fracción "m" sobre "n" es igual a una raíz, donde el índice es "n" y el radicando será el número elevado a "m".
- Potencia de potencia
- cuando se debe elevar a un exponente "n" el resultado de elevar previamente a un exponente "m", se obtiene el mismo resultado elevando a "m.n".
- Potencia de multiplicación
- un producto elevado a un exponente "m" es igual que el producto de [cada factor elevado al exponente "m"]
- Potencia de división
- elevar al exponente "m" el resultado de "a" sobre "b" es lo mismo que hacer "a" elevado a "m" sobre "b" elevado a "m". O, dicho en otra forma interesante: la potencia de una fracción es una fracción de potencias
Recomendaciones:
https://dicciomat.com/leyes-de-los-exponentes/
https://www.matesfacil.com/resueltos-potencias.htm
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