El lado oscuro de Chrome

Esto es lo contrario a lo que parece. Es algo bueno.

En fin, es bueno siempre que les guste navegar la web con luces bajas o a oscuras y deseen la paz y el relax visual que da el texto claro sobre fondo negro.

Imagínenlo: artículos, páginas de Wikipedia, manuales, blogs y, por supuesto, las aplicaciones que corren en el navegador. Todo dejará atrás su brillo desmedido para ser dark.

Antes que nada, para los que sean Administradores de su propio equipo, la mejor opción es el complemento Dark Reader. En Chrome puede buscarse en el buscador de la Chrome Web Store, entrando por Menú 3 puntos ⇒ Extensiones  ⇒ Visitar Chrome Web Store

También, para más información o una forma alternativa de instalación, tiene su sitio web: https://darkreader.org/

Dark Reader logra el modo oscuro de una forma bastante inteligente, sin preguntar nada (más adelante verán a qué me refiero). Por ejemplo, en un sitio directamente reemplazó por color negro la imagen de fondo, una imagen muy clara que poco aportaba y que se hubiera visto mal en negativo (invertida).

Es decir, logra que parezca que el modo oscuro fuese algo cuidadosamente diseñado y no una conversión automática de blanco a negro y viceversa, o invirtiendo sin más algunos colores (amarillo por azul, por ejemplo) cosa que suele quedar bastante mal.

Lo utilicé en Windows y Linux sin problemas. Además, aunque no lo probé, en su sitio se ofrece en versiones para Chrome, Firefox, Safari y Edge.

Pero si no administran su equipo...

En muchas computadoras de empresas, escuelas, etc. han bloqueado el acceso a la Chrome Web Store.  En realidad han bloqueado el acceso a casi todo. En ese caso pueden intentar con el siguiente truco que me ha funcionado en Windows y Linux.

Todo comienza por copiar y pegar el siguiente texto en la barra de direcciones de Chrome:

chrome://flags/#enable-force-dark

Lo que nos llevará a esta característica experimental de Chrome:

El estado inicial es "Default", que luce igual que "Disabled". En este estado el navegador muestra el aspecto original de las páginas.

Las otras opciones adoptan el modo oscuro en distintas modalidades. Esto es una desventaja frente a Dark Reader, por eso decía que aquel no preguntaba nada. Pero tengamos en cuenta que esto es una característica experimental que no ha sido desarrollada a fondo.

Cada vez que se elija una opción elegirá reiniciar (relaunch) el navegador. Esto puede hacerse tranquilamente ya que se volverán a abrir todas las páginas que teníamos abiertas. Siempre y cuando no estuviéramos en el perfil de invitado o modo privado. Como en ese caso Chrome no guarda registro de las páginas visitadas ni de las sesiones iniciadas, no reabrirá nada.

En modo Default:

En modo Enabled:

Probé la totalidad de los modos pero las diferencias me resultaron muy sutiles e impredecibles. En general los resultados no son impecables, en especial con las páginas con imágenes de fondo, pero cumple muy bien su cometido si se trata de eliminar el brillo de un sitio para trabajar o navegar en lugares oscuros (como un autobús de noche). 

Aritmética Parte 7: Potenciación y Teoremas de Exponentes

 

 

La operación de potencia se indica así:

"a" se denomina base, y "n" se llama exponente.

El significado es simple: se trata de multiplicar la base "a" por sí misma la cantidad de veces que indique "n".

¿Y cuando el exponente es negativo?

 La respuesta es menos obvia pero simple, también:

Ejemplo:

Potencia de fracciones

Hay que multiplicar la fracción por sí misma.

Potencia de números negativos

En multiplicación, hay un par de reglas referidas a los signos de los factores:

• Multiplicar dos números del mismo signo, da un resultado positivo.

• Multiplicar dos números de diferente signo, da un resultado negativo.

(-2).(-2) = 4

(-2).2 = -4

(-2).2.(-2) = 8

Como la potencia es una serie de multiplicaciones, también obedece esta regla de los signos.

Cuando un número negativo se eleva a una potencia par, el resultado es positivo, pero si se eleva a una potencia impar, el resultado es negativo.

Si les interesa, debajo se explica de dónde salen estas reglas:

Ya que la primera multiplicación (-2 al cuadrado) será de signo positivo, pero la siguiente multiplicación por -2 (para calcular el cubo) será nuevamente de signo negativo.

En cambio, repitamos el ejemplo anterior pero elevado a 4, que es un exponente par:

El primer (-2).(-2) (mismo signo) da 4 (positivo), al multiplicar 4 por el tercer -2 (diferentes signos) nos da -8 (signo negativo) y al multiplicar -8 por el cuarto -2 (mismo signo) termina dando 16 (positivo).

¡Los dos ejemplos de arriba tienen un error!

Y no lo corregí para que se te grabe:

Cuando la base de la potencia es un número negativo, se escribe entre paréntesis.

De lo contrario debe interpretarse como que el signo negativo debe modificar el resultado de la potencia.

Potencia de fracciones negativas

Se procede según lo visto. Se multiplica el numerador por sí mismo y el denominador por sí mismo, las veces indicadas por el exponente, y obedeciendo la regla de los signos.

Potencia de operaciones entre paréntesis

Se resuelve la operación dentro de los paréntesis, luego se hace la potencia del resultado.

 

Teoremas de los exponentes

Este es uno de los temas que me agradan. Los teoremas sirven como herramientas para resolver algunas operaciones de potenciación en una manera más simple o más ingeniosa.

Para ejemplo basta con el primero que veremos:

 

Multiplicación de potencias de igual base

 

Esto significa: cuando se multiplican dos potencias de igual base, se obtiene el mismo resultado si se eleva la base a la suma de los exponentes.

Prueba:

Caso inverso:

Si se encuentra una base elevada a una suma, llegado el caso puede ser útil expresarla como una multiplicación.

INCLUSO cualquier potencia puede transformarse, si es útil para continuar operando, en un producto. La única condición es que los exponentes del producto, sumados, sean iguales al exponente original.

División de potencias de igual base

Esto significa: cuando se dividen dos potencias de igual base, se obtiene el mismo resultado si se eleva la base a la resta de los exponentes.

Prueba:

Exponente 0

Cualquier número elevado al exponente 0 da 1. Excepto 0, claro.

Hay una explicación para esto:

Y es que según el teorema de la división de potencias de igual base:

Y así con cualquier número. Es la explicación que dan los libros de matemáticas y tiene sentido. 

Exponente 1

Cualquier número elevado a la potencia 1 da el mismo número.

La fórmula completa se lee: "a elevado a la 1 resulta en a para todo a que pertenezca al conjunto de los números reales". 

Esta aclaración es necesaria porque hay otros números por fuera de los números reales donde no se cumple el teorema.

Exponente negativo

Un número a elevado a la potencia -n, es igual a 1 sobre a elevado a la n. A debe ser distinto de 0, ya que la división por 0 no está definida.

 

 

Exponente racional (fraccionario)

Un número a elevado a la fracción m sobre n, es igual a la raíz n de a elevado a la m.

 

Potencia de potencia

Esto significa: cuando se debe elevar a un exponente "n" el resultado de elevar previamente a un exponente "m", se obtiene el mismo resultado elevando a "m.n".

Prueba:

 

 

Potencia de multiplicación

Esto significa: un producto elevado a un exponente "m" es igual que el producto de cada factor elevado al exponente "m".

Prueba:

 

Potencia de división

Esto significa: elevar al exponente "m" el resultado de "a" sobre "b" es lo mismo que hacer "a" elevado a "m" sobre "b" elevado a "m".

Prueba:

Esta propiedad también puede decirse: la potencia de una fracción es una fracción de potencias

 

 

Resumen

Los teoremas que hemos visto son:

• Multiplicación de potencias de igual base
• cuando se multiplican dos potencias de igual base, se obtiene el mismo resultado si se eleva la base a la suma de los exponentes.
  
• División de potencias de igual base
• cuando se dividen dos potencias de igual base, se obtiene el mismo resultado si se eleva la base a la resta de los exponentes.
  
• Exponente 0
• cualquier número elevado al exponente 0 da 1. 
• Exponente 1
• cualquier número elevado al exponente 1 da el mismo número.
• Exponente negativo
• cualquier número elevado a un exponente negativo da el mismo resultado que 1 sobre el número elevado al mismo exponente (pero positivo)
• Exponente racional (fraccionario)
• cualquier número elevado a una fracción "m" sobre "n" es igual a una raíz, donde el índice es "n" y el radicando será el número elevado a "m".
• Potencia de potencia
• cuando se debe elevar a un exponente "n" el resultado de elevar previamente a un exponente "m", se obtiene el mismo resultado elevando a "m.n".
  
• Potencia de multiplicación
• un producto elevado a un exponente "m" es igual que el producto de [cada factor elevado al exponente "m"]
  
• Potencia de división
• elevar al exponente "m" el resultado de "a" sobre "b" es lo mismo que hacer "a" elevado a "m" sobre "b" elevado a "m". O, dicho en otra forma interesante: la potencia de una fracción es una fracción de potencias
  

 

Recomendaciones:

https://dicciomat.com/leyes-de-los-exponentes/

https://www.matesfacil.com/resueltos-potencias.htm

 

 VI

 

Aritmética Parte 6: Números decimales

 

 

Todos los días vemos números decimales: precios ($6.99), medidas (1.88 m.), pesos (1.440 kg) y similares.

Un número decimal surge de una división.

Hay dos grandes clases:

• Números decimales exactos: tienen una cantidad determinada (finita) de cifras decimales.
• 0.5 (1 cifra, el resultado de 1፥2)
• 1.25 (2 cifras, el resultado de 10፥8)
• 0.875 (3 cifras, el resultado de 70፥80)
• Números decimales inexactos: la cantidad de cifras decimales es infinita. Si se hace la división, nunca se llega a resto 0. (Se podría seguir dividiendo infinitamente). Se usan 3 puntos para indicar que el número continúa más allá de lo escrito.
• 0.666666... (el resultado de 2፥3)
• 0.272727... (el resultado de 3፥11)
• 0.314159... (el número π)

Los números decimales inexactos se dividen en dos clases más:

• Números decimales inexactos periódicos: inmediatamente después de la coma o incluso luego de unos pocos decimales diferentes, comienza a repetirse un número decimal o un grupo de ellos y esa repetición sigue indefinidamente a partir de allí. Esta parte repetitiva se llama período. El período se señala con una línea superior.
  
• 0.666666... (el resultado de 2፥3) ➡ 0.6
• 0.272727... (el resultado de 3፥11) ➡ 0.27
• 0.9166666... (el resultado de 11፥12) ➡ 0.916
• 0.142857... (el resultado de 1፥7) ➡ 0.142857
• Números decimales inexactos no periódicos: no se expresan como un cociente de números enteros. La secuencia de decimales es infinita pero no sigue un patrón repetitivo. Son los números irracionales.
  
• 1.7320508... (raíz cúbica de 3)
• 0.314159... (el número π)
• 2.7182818... (el número e)

 

Multiplicación de números con decimales

No vamos a dedicar tiempo a aprender a multiplicar, pero mencionaré algo que a veces plantea dudas. ¿Dónde colocar el punto decimal en el resultado cuando se multiplican dos decimales?

El resultado debe tener tantos decimales como decimales haya entre todos números que se multiplican. Por ejemplo, si se multiplica 23.34 x 19.86, el resultado debe tener 4 decimales. (Efectivamente, es 463,5324). Si se multiplica 463.5324 x 1.2, el resultado es 556.23888 (5 decimales)

Conversión de una fracción en decimal

Se divide el numerador por el denominador.

Si la fracción fuera mixta se debe convertir primero a impropia, como se explica en la Parte 5, de números racionales.

El resultado de la división es el decimal buscado.

Conversión de un decimal exacto en fracción

Primero se determina el denominador: si el decimal tiene 2 cifras decimales (como 0.25), el denominador será un 1 seguido de 2 ceros (100). Es decir, el denominador será un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales haya.

Luego se multiplica el decimal por el denominador, con lo cual obtenemos un entero. Ese entero queda como numerador.

La fracción obtenida debe simplificarse cuando sea posible.

Por ejemplo, 0.128, al tener 3 cifras decimales, determina que el denominador tenga 3 ceros (1000). Posteriormente 0.128 se multiplica por 1000, obteniendo el numerador 128.

Finalmente se simplifica la fracción y queda en 16/125.

Otro ejemplo con 1.12:

El 1.12 se transformó en 112 sobre 100. La simplificación da 28/25.

Conversión de un decimal periódico en fracción

En un decimal periódico, la parte periódica se indica con una línea superpuesta:

Para transformarlo en fracción hay que identificar 4 valores.

Lo haremos con el número decimal periódico 0.1363

Es decir, el número es 0.1363636363636363... y así infinitamente, donde 63 es la parte periódica.

1) Al primer valor lo llamaremos R y es el entero que nos queda si corremos el punto o coma decimal hasta el final del período.

R = 01363 (o sea, 1363)

2) Al segundo valor lo llamaremos h y es la cantidad de lugares que corrimos el punto o coma decimal en el paso anterior. Si tenemos 0.1363, llevar el punto al final significa moverlo 4 lugares.

h = 4

3) Al tercer valor lo llamaremos v y es el entero que nos queda corriendo el punto o coma decimal hasta  dejarlo justo antes del período.

v = 013 (o sea, 13)

4) Al cuarto valor lo llamaremos c y es la cantidad de lugares que corrimos el punto o coma decimal en el paso anterior. (Es decir, desde el lugar original hasta un lugar antes del período)

c = 2

No es tan sencillo ni tan difícil, ¿verdad? Ahora, si ya tenemos esos 4 valores, atención, porque se utilizan en una fórmula:

Sustituiremos:

Lo cual da:

Para simplificar, utilizamos el método del Máximo Común Divisor ya explicado en la Parte 4.

El M.C.M. de los dos números es 450. Puede usarse para dividirlos y obtener la versión simplificada, pero 1350፥450 da 3, y 9900፥450 da 22, que son justamente los números que obtuvimos en el último paso, cuando terminamos el procedimiento por no hallar un divisor común.

Por lo tanto, ya podemos dar una respuesta:

 

También podemos hacer la prueba: al dividir 3 por 22 usando calculadora, hoja de cálculo o simplemente escribiendo la fórmula en la consola de Python, obtendremos como respuesta 0.1363636363...

Otro ejemplo

Sin abundar en explicaciones (que están aquí arriba) convertiremos en fracción el número periódico 0.103896

R = 103896

h = 6

v = 0

c = 0

Simplificamos:

La prueba:dividir 296 por 2849 nos da 0.103896103896103896...

Como dato curioso, es posible utilizar esta fórmula con decimales exactos, para eso hay que asumir que todo decimal exacto tiene un "0" periódico.

Así, 0.125 sería en realidad 0.125000000... o sea: 0.1250

Redondeo implícito

Cuando la parte periódica sea 9, la fórmula produce una fracción redondeada a un decimal exacto, con lo cual, si lo probamos, no llegaremos al número original.

Vamos a verificarlo con  0.59

R = 59

h =2

v =5

c =1

La simplificación fue realizada utilizando el método del Máximo Común Divisor ya explicado en la Parte 4.

Si hacemos la prueba, dividir 3 por 5 nos da 0.6 y no 0.59

Aritmética Parte 5: Números Racionales

 

Es un hecho. En estos primeros días mis urgencias pasan más por la matemática que por Python. Tengo varias razones poderosas.

Como explico en esta otra historia,  no quisiera usar Python solamente para calcular sumatorias de importes de ventas. Lo hice durante 30 años. Con Clipper y luego con Visual Fox Pro. Y con JavaScript y PHP.

Python es computación científica (por lo menos para mí, no me desilusionen) y necesito nuevos conocimientos.

En realidad me conformaba con aprender sobre estadística, por eso del Análisis de Datos, pero rápidamente me dí cuenta de que la estadística no es posible sin matemáticas. Y avanzadas.

Además, Stef está comenzando con matemáticas de cierta dificultad y no se va a detener durante muchos años. Por el momento soy su profesor - mentor - tutor. Pero es poca la ventaja que le llevo. No debo dejar de aprender. SIN EMBARGO creo que tengo cierto talento para enseñarle, le planteo problemas intimidantes pero al final la enseñanza es que aplicando la técnica con orden, todo se resuelve. Le está perdiendo el miedo a los números y, al mismo tiempo, descubre que tiene poder sobre ellos. Y sobre todo lo que existe. Bueno, así es la matemática.

Sé que esto también servirá a los que lean estas historias.

Les presento a la fracción más simple;

Donde "a" es el numerador. Y "b" es el denominador. También es común llamarlas números racionales.

Una clasificación para las fracciones:

a- Fracción propia Es una fracción donde el numerador es menor o igual que el denominador. En este caso, 3/4 representa una unidad dividida en 4 partes, de las cuales se toman 3, y se representa gráficamente como:

Hay una pregunta que surge con frecuencia: ¿1/1 es fracción propia o impropia? Es propia (numerador menor o igual al denominador)

b- Fracción impropia Es una fracción donde el numerador es mayor que el denominador. En este caso, 7/2 representa una unidad dividida en 2 partes, de las cuales se toman 7, y se representa gráficamente como... Un momento. ¿Cómo tomamos 7 partes de 2? En principio la representación gráfica es:

En efecto,  7/2 es un racional válido. Que nos conduce al siguiente tipo de fracción.

c- Fracción Mixta Es otra forma de representar fracciones impropias. Este racional tiene una parte entera y una fraccionaria. 7/2 puede representarse también como 3 1/2

 

¡Un caso de la vida real!

Juan, María y Roberto encargan medio kilo de pan cada uno a Matías. Matías va a la panaderia y le pide al panadero "tres medios kilos de pan". El panadero prepara 3 bolsas  de medio kilo cada una.

 

Matías se retira con  

(fracción impropia), pero a la vez es 

de pan (fracción mixta). Y el panadero, sin estudiar matemáticas, también lo entendió.

d- Fracciones aparentes Reciben este nombre porque si se divide el denominador por el numerador se obtiene un entero. En el ejemplo, 256/32 es sencillamente 8.

Conversión de impropia a mixta

El numerador debe dividirse por el denominador.

El resultado será la parte entera de la fracción mixta, y el resto será el nuevo numerador.

El denominador queda igual.

Proceso para convertir fracción impropia a mixta. División. Los colores sirven para comprender de  dónde proviene cada número y a dónde termina. El numerador original (en negro) ya no aparece en el resultado final.

Conversión de mixta a impropia

• La parte entera se multiplica por el denominador.
• El producto se suma al numerador y el resultado será el nuevo numerador.
• El denominador queda igual.

Fracciones equivalentes - identificación

Las fracciones equivalentes son las que representan la misma cantidad a pesar de escribirse distinto.

Por ejemplo las siguientes fracciones son equivalentes.:

Para determinar si dos fracciones son equivalentes:

• Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el resultado se anota debajo de la primera (números en negro)
• Se multiplica el numerador de la segunda por el denominador de la primera y el resultado se anota debajo de la segunda (números en rojo)
• Si el resultado es el mismo, son equivalentes.

Con la misma técnica se pueden comparar dos fracciones: la que tenga debajo el resultado mayor es la mayor.

Comparación de fracciones mixtas

Para comparar (averiguar si es equivalente, menor o mayor) dos fracciones mixtas o una mixta y una impropia, las mixtas deben ser convertidas en impropias con el modo indicado anteriormente.

Multiplicación por un mismo número. Fracciones equivalentes.

Multiplicando numerador y denominador por un mismo número se obtiene una fracción equivalente. Es decir, el valor de la fracción no cambia. Esta forma de llegar a una fracción equivalente se conoce como amplificación.

En este ejemplo "3/4" se multiplicó por 2 y luego nuevamente por 2. El valor no se alteró pues se obtuvieron fracciones equivalentes.

Graficar fracciones en la recta numérica.

Para mostrar una fracción en la recta numérica se divide la unidad en tantas partes como indique el denominador y se marca en la parte indicada por el numerador.

Suma y resta con igual denominador

Se suman o restan los numeradores, se utiliza el mismo denominador.

Suma y resta entre fracciones mixtas o mixtas e impropias con igual denominador

Todas las fracciones mixtas deben convertirse a impropias  y luego sumar o restar.

Suma y resta entre fracciones con diferente denominador

El procedimiento es un poco más complicado pero no es difícil.

Se requiere dominar el proceso de cálculo de mínimo común múltiplo (m.c.m.) ya explicado en la Parte 3.

1. Se obtiene el m.c.m. de todos los denominadores. Este será el denominador del resultado.
2. El denominador del resultado se divide por el denominador de cada fracción involucrada, y el resultado se multiplica por el numerador.
3. Los distintos resultados se suman y restan y ese será el numerador del resultado.

En el siguiente ejemplo ya se calculó el denominador del resultado, a través del m.c.m. de los denominadores que intervienen.

Se hizo 24 dividido por cada denominador y multiplicado por cada numerador:

Resultado: 23/24

Multiplicación de fracciones

Se multiplican todos los numeradores para obtener el numerador del resultado, y todos los denominadores para llegar al denominador del resultado.

Si hay fracciones mixtas se convierten a impropias.

Si hay números enteros se asume que tienen denominador 1.

División de fracciones

La división se resuelve también multiplicando, pero numerador con denominador y denominador con numerador. Como se muestra aquí (los colores indican cómo se multiplica y dónde va el resultado):

Si hay fracciones mixtas se convierten a impropias.

Si hay números enteros se asume que tienen denominador 1.

Signos de agrupación

Cuando hay operaciones entre signos de agrupación (paréntesis) se resuelven primero las operaciones dentro de los paréntesis. Luego, cuando se obtiene una fracción, se procede a seguir la operación con las fracciones que están afuera de los paréntesis.

Es importante simplificar tanto como se pueda:

Simplificación extrema

Para lograr la máxima simplificación de una fracción utilizamos el método del M.C.D. (Máximo Común Divisor) visto en la Parte 4.

Simplemente hay que buscar el M.C.D. del numerador y del denominador:

Aplicado al caso anterior vemos: el MCD serviría para dividir numerador y denominador y así obtener la máxima simplificación (24/42 queda en 4/7) pero no hace falta porque los últimos números resultantes (4 debajo del 24 y 7 debajo del 42) nos están dando la respuesta.

Fracciones complejas

Esta es una fracción compleja:

La resolución es:

Paso 1: resolver la parte superior. Es una resta de fracciones de diferente denominador, tema que ya vimos en esta Parte 5.

Paso 2: resolver la parte inferior. Es una suma de fracciones de diferente denominador, tema que ya vimos en esta Parte 5.

Paso 3: la fracción es al fin y al cabo una división. Dividimos la fracción superior por la inferior, mediante el método de producto cruzado. Luego simplificamos.

La solución es 2/9

Esta es otra fracción compleja (más compleja):

No hay que alarmarse. Hay que considerarlas una especie de fracciones "anidadas".

¿Ven la operación 1/2 - 1/4 abajo de todo? Es una operación, pero su resultado a su vez es el denominador para el numerador 1 que hay justo arriba. Hay que llegar a que ese denominador sea una sola fracción o un entero si es posible.

Si el resultado de 1/2-1/4 se puede simplificar hasta un entero, perfecto. Si no, habrá que resolverlo como división con el numerador "1" que tienen justo encima . Luego le sumamos el 1 que tiene a la izquierda. Y el resultado pasará a ser el denominador debajo del numerador 1 que hay arriba de todo.

Veámoslo paso a paso.

Paso 1: Resolver la resta de fracciones de diferente denominador que tenemos abajo de todo.

Ahora la operación se debería ver así:

Paso 2: resolver 1 sobre 1/4, haciendo una división (multiplicación cruzada). 

Ahora la operación se debería ver así:

Solución: 1/5