Aritmética Parte 6: Números decimales

 

 

Todos los días vemos números decimales: precios ($6.99), medidas (1.88 m.), pesos (1.440 kg) y similares.

Un número decimal surge de una división.

Hay dos grandes clases:

• Números decimales exactos: tienen una cantidad determinada (finita) de cifras decimales.
• 0.5 (1 cifra, el resultado de 1፥2)
• 1.25 (2 cifras, el resultado de 10፥8)
• 0.875 (3 cifras, el resultado de 70፥80)
• Números decimales inexactos: la cantidad de cifras decimales es infinita. Si se hace la división, nunca se llega a resto 0. (Se podría seguir dividiendo infinitamente). Se usan 3 puntos para indicar que el número continúa más allá de lo escrito.
• 0.666666... (el resultado de 2፥3)
• 0.272727... (el resultado de 3፥11)
• 0.314159... (el número π)

Los números decimales inexactos se dividen en dos clases más:

• Números decimales inexactos periódicos: inmediatamente después de la coma o incluso luego de unos pocos decimales diferentes, comienza a repetirse un número decimal o un grupo de ellos y esa repetición sigue indefinidamente a partir de allí. Esta parte repetitiva se llama período. El período se señala con una línea superior.
  
• 0.666666... (el resultado de 2፥3) ➡ 0.6
• 0.272727... (el resultado de 3፥11) ➡ 0.27
• 0.9166666... (el resultado de 11፥12) ➡ 0.916
• 0.142857... (el resultado de 1፥7) ➡ 0.142857
• Números decimales inexactos no periódicos: no se expresan como un cociente de números enteros. La secuencia de decimales es infinita pero no sigue un patrón repetitivo. Son los números irracionales.
  
• 1.7320508... (raíz cúbica de 3)
• 0.314159... (el número π)
• 2.7182818... (el número e)

 

Multiplicación de números con decimales

No vamos a dedicar tiempo a aprender a multiplicar, pero mencionaré algo que a veces plantea dudas. ¿Dónde colocar el punto decimal en el resultado cuando se multiplican dos decimales?

El resultado debe tener tantos decimales como decimales haya entre todos números que se multiplican. Por ejemplo, si se multiplica 23.34 x 19.86, el resultado debe tener 4 decimales. (Efectivamente, es 463,5324). Si se multiplica 463.5324 x 1.2, el resultado es 556.23888 (5 decimales)

Conversión de una fracción en decimal

Se divide el numerador por el denominador.

Si la fracción fuera mixta se debe convertir primero a impropia, como se explica en la Parte 5, de números racionales.

El resultado de la división es el decimal buscado.

Conversión de un decimal exacto en fracción

Primero se determina el denominador: si el decimal tiene 2 cifras decimales (como 0.25), el denominador será un 1 seguido de 2 ceros (100). Es decir, el denominador será un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales haya.

Luego se multiplica el decimal por el denominador, con lo cual obtenemos un entero. Ese entero queda como numerador.

La fracción obtenida debe simplificarse cuando sea posible.

Por ejemplo, 0.128, al tener 3 cifras decimales, determina que el denominador tenga 3 ceros (1000). Posteriormente 0.128 se multiplica por 1000, obteniendo el numerador 128.

Finalmente se simplifica la fracción y queda en 16/125.

Otro ejemplo con 1.12:

El 1.12 se transformó en 112 sobre 100. La simplificación da 28/25.

Conversión de un decimal periódico en fracción

En un decimal periódico, la parte periódica se indica con una línea superpuesta:

Para transformarlo en fracción hay que identificar 4 valores.

Lo haremos con el número decimal periódico 0.1363

Es decir, el número es 0.1363636363636363... y así infinitamente, donde 63 es la parte periódica.

1) Al primer valor lo llamaremos R y es el entero que nos queda si corremos el punto o coma decimal hasta el final del período.

R = 01363 (o sea, 1363)

2) Al segundo valor lo llamaremos h y es la cantidad de lugares que corrimos el punto o coma decimal en el paso anterior. Si tenemos 0.1363, llevar el punto al final significa moverlo 4 lugares.

h = 4

3) Al tercer valor lo llamaremos v y es el entero que nos queda corriendo el punto o coma decimal hasta  dejarlo justo antes del período.

v = 013 (o sea, 13)

4) Al cuarto valor lo llamaremos c y es la cantidad de lugares que corrimos el punto o coma decimal en el paso anterior. (Es decir, desde el lugar original hasta un lugar antes del período)

c = 2

No es tan sencillo ni tan difícil, ¿verdad? Ahora, si ya tenemos esos 4 valores, atención, porque se utilizan en una fórmula:

Sustituiremos:

Lo cual da:

Para simplificar, utilizamos el método del Máximo Común Divisor ya explicado en la Parte 4.

El M.C.M. de los dos números es 450. Puede usarse para dividirlos y obtener la versión simplificada, pero 1350፥450 da 3, y 9900፥450 da 22, que son justamente los números que obtuvimos en el último paso, cuando terminamos el procedimiento por no hallar un divisor común.

Por lo tanto, ya podemos dar una respuesta:

 

También podemos hacer la prueba: al dividir 3 por 22 usando calculadora, hoja de cálculo o simplemente escribiendo la fórmula en la consola de Python, obtendremos como respuesta 0.1363636363...

Otro ejemplo

Sin abundar en explicaciones (que están aquí arriba) convertiremos en fracción el número periódico 0.103896

R = 103896

h = 6

v = 0

c = 0

Simplificamos:

La prueba:dividir 296 por 2849 nos da 0.103896103896103896...

Como dato curioso, es posible utilizar esta fórmula con decimales exactos, para eso hay que asumir que todo decimal exacto tiene un "0" periódico.

Así, 0.125 sería en realidad 0.125000000... o sea: 0.1250

Redondeo implícito

Cuando la parte periódica sea 9, la fórmula produce una fracción redondeada a un decimal exacto, con lo cual, si lo probamos, no llegaremos al número original.

Vamos a verificarlo con  0.59

R = 59

h =2

v =5

c =1

La simplificación fue realizada utilizando el método del Máximo Común Divisor ya explicado en la Parte 4.

Si hacemos la prueba, dividir 3 por 5 nos da 0.6 y no 0.59

Aritmética Parte 5: Números Racionales

 

Es un hecho. En estos primeros días mis urgencias pasan más por la matemática que por Python. Tengo varias razones poderosas.

Como explico en esta otra historia,  no quisiera usar Python solamente para calcular sumatorias de importes de ventas. Lo hice durante 30 años. Con Clipper y luego con Visual Fox Pro. Y con JavaScript y PHP.

Python es computación científica (por lo menos para mí, no me desilusionen) y necesito nuevos conocimientos.

En realidad me conformaba con aprender sobre estadística, por eso del Análisis de Datos, pero rápidamente me dí cuenta de que la estadística no es posible sin matemáticas. Y avanzadas.

Además, Stef está comenzando con matemáticas de cierta dificultad y no se va a detener durante muchos años. Por el momento soy su profesor - mentor - tutor. Pero es poca la ventaja que le llevo. No debo dejar de aprender. SIN EMBARGO creo que tengo cierto talento para enseñarle, le planteo problemas intimidantes pero al final la enseñanza es que aplicando la técnica con orden, todo se resuelve. Le está perdiendo el miedo a los números y, al mismo tiempo, descubre que tiene poder sobre ellos. Y sobre todo lo que existe. Bueno, así es la matemática.

Sé que esto también servirá a los que lean estas historias.

Les presento a la fracción más simple;

Donde "a" es el numerador. Y "b" es el denominador. También es común llamarlas números racionales.

Una clasificación para las fracciones:

a- Fracción propia Es una fracción donde el numerador es menor o igual que el denominador. En este caso, 3/4 representa una unidad dividida en 4 partes, de las cuales se toman 3, y se representa gráficamente como:

Hay una pregunta que surge con frecuencia: ¿1/1 es fracción propia o impropia? Es propia (numerador menor o igual al denominador)

b- Fracción impropia Es una fracción donde el numerador es mayor que el denominador. En este caso, 7/2 representa una unidad dividida en 2 partes, de las cuales se toman 7, y se representa gráficamente como... Un momento. ¿Cómo tomamos 7 partes de 2? En principio la representación gráfica es:

En efecto,  7/2 es un racional válido. Que nos conduce al siguiente tipo de fracción.

c- Fracción Mixta Es otra forma de representar fracciones impropias. Este racional tiene una parte entera y una fraccionaria. 7/2 puede representarse también como 3 1/2

 

¡Un caso de la vida real!

Juan, María y Roberto encargan medio kilo de pan cada uno a Matías. Matías va a la panaderia y le pide al panadero "tres medios kilos de pan". El panadero prepara 3 bolsas  de medio kilo cada una.

 

Matías se retira con  

(fracción impropia), pero a la vez es 

de pan (fracción mixta). Y el panadero, sin estudiar matemáticas, también lo entendió.

d- Fracciones aparentes Reciben este nombre porque si se divide el denominador por el numerador se obtiene un entero. En el ejemplo, 256/32 es sencillamente 8.

Conversión de impropia a mixta

El numerador debe dividirse por el denominador.

El resultado será la parte entera de la fracción mixta, y el resto será el nuevo numerador.

El denominador queda igual.

Proceso para convertir fracción impropia a mixta. División. Los colores sirven para comprender de  dónde proviene cada número y a dónde termina. El numerador original (en negro) ya no aparece en el resultado final.

Conversión de mixta a impropia

• La parte entera se multiplica por el denominador.
• El producto se suma al numerador y el resultado será el nuevo numerador.
• El denominador queda igual.

Fracciones equivalentes - identificación

Las fracciones equivalentes son las que representan la misma cantidad a pesar de escribirse distinto.

Por ejemplo las siguientes fracciones son equivalentes.:

Para determinar si dos fracciones son equivalentes:

• Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el resultado se anota debajo de la primera (números en negro)
• Se multiplica el numerador de la segunda por el denominador de la primera y el resultado se anota debajo de la segunda (números en rojo)
• Si el resultado es el mismo, son equivalentes.

Con la misma técnica se pueden comparar dos fracciones: la que tenga debajo el resultado mayor es la mayor.

Comparación de fracciones mixtas

Para comparar (averiguar si es equivalente, menor o mayor) dos fracciones mixtas o una mixta y una impropia, las mixtas deben ser convertidas en impropias con el modo indicado anteriormente.

Multiplicación por un mismo número. Fracciones equivalentes.

Multiplicando numerador y denominador por un mismo número se obtiene una fracción equivalente. Es decir, el valor de la fracción no cambia. Esta forma de llegar a una fracción equivalente se conoce como amplificación.

En este ejemplo "3/4" se multiplicó por 2 y luego nuevamente por 2. El valor no se alteró pues se obtuvieron fracciones equivalentes.

Graficar fracciones en la recta numérica.

Para mostrar una fracción en la recta numérica se divide la unidad en tantas partes como indique el denominador y se marca en la parte indicada por el numerador.

Suma y resta con igual denominador

Se suman o restan los numeradores, se utiliza el mismo denominador.

Suma y resta entre fracciones mixtas o mixtas e impropias con igual denominador

Todas las fracciones mixtas deben convertirse a impropias  y luego sumar o restar.

Suma y resta entre fracciones con diferente denominador

El procedimiento es un poco más complicado pero no es difícil.

Se requiere dominar el proceso de cálculo de mínimo común múltiplo (m.c.m.) ya explicado en la Parte 3.

1. Se obtiene el m.c.m. de todos los denominadores. Este será el denominador del resultado.
2. El denominador del resultado se divide por el denominador de cada fracción involucrada, y el resultado se multiplica por el numerador.
3. Los distintos resultados se suman y restan y ese será el numerador del resultado.

En el siguiente ejemplo ya se calculó el denominador del resultado, a través del m.c.m. de los denominadores que intervienen.

Se hizo 24 dividido por cada denominador y multiplicado por cada numerador:

Resultado: 23/24

Multiplicación de fracciones

Se multiplican todos los numeradores para obtener el numerador del resultado, y todos los denominadores para llegar al denominador del resultado.

Si hay fracciones mixtas se convierten a impropias.

Si hay números enteros se asume que tienen denominador 1.

División de fracciones

La división se resuelve también multiplicando, pero numerador con denominador y denominador con numerador. Como se muestra aquí (los colores indican cómo se multiplica y dónde va el resultado):

Si hay fracciones mixtas se convierten a impropias.

Si hay números enteros se asume que tienen denominador 1.

Signos de agrupación

Cuando hay operaciones entre signos de agrupación (paréntesis) se resuelven primero las operaciones dentro de los paréntesis. Luego, cuando se obtiene una fracción, se procede a seguir la operación con las fracciones que están afuera de los paréntesis.

Es importante simplificar tanto como se pueda:

Simplificación extrema

Para lograr la máxima simplificación de una fracción utilizamos el método del M.C.D. (Máximo Común Divisor) visto en la Parte 4.

Simplemente hay que buscar el M.C.D. del numerador y del denominador:

Aplicado al caso anterior vemos: el MCD serviría para dividir numerador y denominador y así obtener la máxima simplificación (24/42 queda en 4/7) pero no hace falta porque los últimos números resultantes (4 debajo del 24 y 7 debajo del 42) nos están dando la respuesta.

Fracciones complejas

Esta es una fracción compleja:

La resolución es:

Paso 1: resolver la parte superior. Es una resta de fracciones de diferente denominador, tema que ya vimos en esta Parte 5.

Paso 2: resolver la parte inferior. Es una suma de fracciones de diferente denominador, tema que ya vimos en esta Parte 5.

Paso 3: la fracción es al fin y al cabo una división. Dividimos la fracción superior por la inferior, mediante el método de producto cruzado. Luego simplificamos.

La solución es 2/9

Esta es otra fracción compleja (más compleja):

No hay que alarmarse. Hay que considerarlas una especie de fracciones "anidadas".

¿Ven la operación 1/2 - 1/4 abajo de todo? Es una operación, pero su resultado a su vez es el denominador para el numerador 1 que hay justo arriba. Hay que llegar a que ese denominador sea una sola fracción o un entero si es posible.

Si el resultado de 1/2-1/4 se puede simplificar hasta un entero, perfecto. Si no, habrá que resolverlo como división con el numerador "1" que tienen justo encima . Luego le sumamos el 1 que tiene a la izquierda. Y el resultado pasará a ser el denominador debajo del numerador 1 que hay arriba de todo.

Veámoslo paso a paso.

Paso 1: Resolver la resta de fracciones de diferente denominador que tenemos abajo de todo.

Ahora la operación se debería ver así:

Paso 2: resolver 1 sobre 1/4, haciendo una división (multiplicación cruzada). 

Ahora la operación se debería ver así:

Solución: 1/5

Chispa (Cuento)

Desde el primer momento supe que este blog contendría también algo de ficción. Impaciente por llegar a ese momento, me permití escribir un cuento corto, un jueves. No es de lo mejor que puedo hacer, pero al menos ya está aquí. Ojalá les guste.

Era la Oscuridad. Desde hacía tiempo.

Los humanos nacían sin saber por qué, vivían sin saber para qué, y morían sin saber cómo.

Era la Oscuridad, pero era sólo la transición hacia algo más oscuro que la Oscuridad.

La Minoría era la culpable. Venía actuando desde antes que hubiese Historia, por eso lo que se sabía sobre ella se había transmitido de generación en generación, mediante la palabra y la memoria.

Y, cuando la Humanidad estuvo lista para escribir, aquello que recordaba sobre la Minoría se utilizó para escribir los libros sagrados de cada religión.

Ese fue el golpe de gracia; todo se olvidó para siempre.

Ni siquiera los que sí tenían una clara ide de lo que era la Minoría pudieron revelarla, porque cayeron en la trampa. Son los que en todas las épocas hablaron de demonios, artes ocultas, seres de otros mundos y conspiraciones. Tomaron ese camino y se perdieron. Entre Dios, el Diablo, y la Nada, todos tenían una forma de explicar el mundo, y la Minoría actuó con una libertad escalofriante.

En el momento indicado hicieron surgir la Inteligencia Artificial. Fue en el año 2024 para muchos, en el 5784 para otros, 1946 para otros tantos, 6266 para algunos más, y así. Tal diversidad era una consecuencia más de la caótica línea temporal donde la Minoría se escondía.

Setenta años después de ese surgimiento, se producía la transición.

 

La Minoría, desde el principio, había querido ser única dueña del planeta, en solitario. En sus cánones originales no existía la supremacía. Existía la unicidad. Pero 144.000 personas, sólo 144.000 en todo un planeta... era muy difícil descender a ese número de vidas. La IA servía a un doble fin. Hacer todo lo que 144.000 no podrían por sí solos, pero también expulsar al resto de los hombres, asfixiarlos, quitarles todo sentido, para limpiar la Tierra.

En el devenir de los tiempos hubo guerras, esclavitud, pestes y genocidios. Estaba a punto de lograrlo. Incluso, convenció a casi todos de que había que morir para estar entre los 144.000...

Pero algo se rompió quinientos años antes de la IA. De allí en adelante las cosas empeoraron. Claro está, era el contraataque de la Minoría, pero así y todo la Humanidad ganó terreno hasta ser miles de millones. No es difícil de imaginar. Las enfermedades se curaban, los alimentos se multiplicaban, y muchos comenzaron a Pensar. Y en lo primero que pensaron fue en cómo mejorar la vida de los humanos. Aparecieron formas puntuales de pensamiento, masas enteras se sumaron, y se llegó al colmo de que matarse unos a otros no fuera lo normal, al colmo de que se protegiera más a los débiles que a los fuertes, al colmo de que no gobernara el que más enemigos mataba sino algún otro.

Para cada avance, la Minoría fabricó un antagonista. Un intento de asegurar la meta, los 144.000. Pero la lucha se prolongaba. Llevaba siglos. Así es como llegó a sembrar las ideas finales.

Las "ideas finales", porque no fue solo una. Las redes sociales, por ejemplo. Por efecto de las redes sociales la gente comenzó a perder el Pensamiento, la lucidez, y ya no supo dónde buscar -al menos buscar- la felicidad. Pero la más perversa fue lograr que los humanos que aspiraban a sobrevivir con privilegios amaran algo que los destruía. Se encolumnaban detrás de la IA, fascinados por la manera en que dejaba sin oportunidades a la Humanidad. Secretamente, como todos los traidores, esperaban ser bien pagados.

Cerca del 2094, del 5854, del 2016 y del 6336, los humanos se encontraban en extinción. Lo que había comenzado con las redes sociales ahora era una época donde no recordaban. Simplemente no recordaban. ¿Esperar? Sí, esperaban. ¿Desear? Sí, deseaban. ¿Luchar? Sí, luchaban. ¿Amar? No, no amaban.

Todas sus esperanzas, sus deseos, sus luchas y su desamor estaban dictados por la Inteligencia Artificial y la Minoría. No había profesiones, artes ni valores. Tampoco ciencia.

La transición era el paso hacia la extinción de los que no estaban entre los 144.000

Entonces, un hombre contó.

Tomó conciencia de que era uno.

Al lado vió a otro uno.

Aunque había nacido después de que todo se olvidara, entendió lo que era "dos". No lo pudo nombrar, pero sabía lo que era.

15 años después, la Humanidad todavía existía y los seguidores de aquel hombre sabían contar mucho más que dos. Una parte de ellos disentía, sin embargo. No creían en las cantidades y prefirieron las palabras. Crearon palabras nuevas, porque sólo se usaban unas treinta o cuarenta y muchos asuntos se olvidaban por falta de un modo de comunicarlos.

La Minoría sabía lo que sucedía pero no lo podía evitar. Los nuevos hombres no traicionaban.

Tampoco podía crear una catástrofe planetaria sin sucumbir también. Grave, muy grave.

Los seguidores del primer hombre descubrieron un curioso número entre el 2 y el 3 justo cuando los que creaban el lenguaje crearon el término "Ignorancia". Así, empezaron a describirse. Eran ignorantes.

Ciento veinte años después, gracias al esfuerzo de los creadores de lenguaje, los hombres formaban una red viviente. Y lo mejor es que también podían representar el mundo con números. Y ocultarse.

Había nacido una nueva inteligencia no artificial.

La Minoría infundió pánico, pero no era suficiente. Doscientos años antes había sembrado confusión, pero estos nuevos hombres eran diferentes. Habían empezado por llamarse a sí mismos "ignorantes" para, desde allí, crecer. Y no iban a desandar el camino.

La Minoría buscó aprovechar el ego de cada hombre, como antaño, pero tampoco funcionó. Desde el momento que el primer hombre dijo "uno" y luego "otro uno", y "otro uno", fue imposible separarlos.

Trescientos treinta y tres años luego del despertar del Uno, la Minoría renunció a vivir en soledad y los 144.000 se dispersaron silenciosamente por el planeta. 

Los nuevos hombres no lo sabían. La Minoría, que sí lo sabía, maldecía a aquel primer hombre que dejó de someterse a las máquinas y escribió la primera ley fundamental: "1 + 1 = 2".

C.A. Nipotti

Aritmética Parte 4: encontrar el M.C.D.

 

Un carpintero debe hacer bases cuadradas de madera. Tiene una gran pieza de madera de 324 x 168 cm. ¿Cómo debe cortar la madera para que no haya sobrantes, y que los trozos sean del mayor tamaño posible pero respetando la forma cuadrada?

Es un problema de Máximo Común Divisor o M.C.D. porque:

La madera disponible es un rectángulo de 324 x 168 cm. Si la cortáramos en 4 obtendríamos partes iguales de 162 x 84 cm. 162 sería en este caso un divisor de 324, y 84 sería un divisor de 168. Pero no serían cuadradas.

Para que sean cuadradas ambos divisores deberían ser iguales. Es decir, deberían ser divisores comunes a ambos lados de la pieza de madera. Y para que los cortes sean del mayor tamaño posible, debería ser el máximo divisor común.

En la Parte 2 vimos cómo factorizar un número. Con un buen dominio de la factorización, el cálculo del M.C.D. es bastante simple.

El secreto es factorizar en simultáneo todos los números a los que hay que calcularles el M.C.D., pero factorizar con ciertas reglas (esto se parece un poco al cálculo de m.c.m. o mínimo común múltiplo pero no es lo mismo):

1. Empezar dividiendo por 2, que es el número primo más bajo
2. Si el divisor divide a todos los números, se utiliza. Si no se pudo utilizar, se trata de utilizar el siguiente número primo.
3. Si no existe un número que divida a todos los números, termina el proceso.

Ejemplo: calcularemos el M.C.D. de 324 y 168 para resolver el problema:

Paso a paso, cómo lo resolví:

Fila 1:

Tengo 324 y 168
Por ser los 2 números pares, utilizo el número primo 2

Fila 2:
Debajo de cada número anoto los resultados de cada división por 2.
Ahora tengo 162 y 84
Vuelvo a usar el 2 porque los números siguen siendo pares, aún se pueden dividir por 2.

Fila 3:
Debajo de 162 y 84 anoto los resultados de dividirlos por 2.
Ahora tengo 81 y 42. Para seguir utilizando el 2 necesitaría que ambos fueran divisibles por 2.
Pero no lo son. En cambio, ambos son divisibles por 3. Utilizo 3.

Fila 4:
Debajo de 81 y 42 anoto los resultados de dividirlos por 3.
Ahora tengo 27 y 14. Ya no hay un divisor común a ambos. Fin del proceso.

En la columna de la derecha me quedaron los divisores usados: 2, 2 y 3.

Multiplicándolos obtengo 12.

La respuesta al problema es: el carpintero debe cortar cuadrados de 12 x 12 cm. para aprovechar todo el material obteniendo los trozos de mayor tamaño posible.

Como dato adicional: el 27 y el 14 que quedaron al final se interpretan como que la plancha de madera puede dividirse en una cuadrícula de 27 x 14 trozos. Es decir, se obtendrán 378 cuadrados.

Pista: notar que los divisores nunca van hacia atrás. Si después que se pasó al 3 o al 5 parece que el 2 vuelve a servir, algo se hizo mal.

Aquí otro problema, con una solución curiosa:

Tenemos un cubo de 100 x 100 x 100 cm. de lado, hay que dividirlo obteniendo los cubos más grandes posibles.

El método del M.C.D. nos dice que el cubo más grande que podemos obtener de un cubo de 100 cm de lado es... un cubo de 100 cm. de lado. Es decir, ¡la solución óptima es que dejarlo como está!

Un problema más

Nos donan 3 bolsas de golosinas. Una de caramelos, con 100 caramelos. Otra de chupetines, con 80 chupetines, y otra de chocolates, con 30 chocolates.

El donante pide máxima transparencia: que armemos bolsas de forma que todas contengan exactamente lo mismo y que no sobre absolutamente nada, que hasta el último caramelo sea repartido.

Como se ve, las cantidades iniciales son divisibles por 2.

Los resultados que siguen no pueden dividirse por 2 ni por 3 (deben ser todos por el mismo número) pero sí por 5.

La tercera línea de resultados contiene números que ya no tienen un divisor en común por lo que nos detenemos allí.

Ya tenemos información muy valiosa: la cantidad de bolsas será el producto de los factores: 10 bolsas.

Y la composición de cada una son los números finales: 10 caramelos, 8 chupetines y 3 chocolates.

Incluso estamos en condiciones de sugerirle al donante que la próxima vez aporte 40 chocolates en lugar de 30, si desea más bolsas no tan cargadas:

(20 bolsas con 5 caramelos, 4 chupetines y 2 chocolates)

Pequeña conclusión

Ya hemos conocido Factorización, cálculo de Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) y de Máximo Común Divisor (M.C.D.)

No será la última vez que se los use, como dije, es sólo el comienzo. Dejo unos consejos de uso:

• Cuando el problema se trate de "Cuánto es lo mínimo necesario", "cuándo coincidirá", "cuándo volverán a llegar juntos", etc., siempre que hablemos de dos o más sucesos o cantidades repetitivas, debe intentarse con m.c.m
• Cuando se busque obtener una distribución óptima, o máxima, debe intentarse con M.C.D.
• Como veremos en la próxima Parte 5, con M.C.D. se logra la máxima simplificación de una fracción o número racional.

Nos vemos en la próxima.