Aritmética Parte 4: encontrar el M.C.D.

 

Un carpintero debe hacer bases cuadradas de madera. Tiene una gran pieza de madera de 324 x 168 cm. ¿Cómo debe cortar la madera para que no haya sobrantes, y que los trozos sean del mayor tamaño posible pero respetando la forma cuadrada?

Es un problema de Máximo Común Divisor o M.C.D. porque:

La madera disponible es un rectángulo de 324 x 168 cm. Si la cortáramos en 4 obtendríamos partes iguales de 162 x 84 cm. 162 sería en este caso un divisor de 324, y 84 sería un divisor de 168. Pero no serían cuadradas.

Para que sean cuadradas ambos divisores deberían ser iguales. Es decir, deberían ser divisores comunes a ambos lados de la pieza de madera. Y para que los cortes sean del mayor tamaño posible, debería ser el máximo divisor común.

En la Parte 2 vimos cómo factorizar un número. Con un buen dominio de la factorización, el cálculo del M.C.D. es bastante simple.

El secreto es factorizar en simultáneo todos los números a los que hay que calcularles el M.C.D., pero factorizar con ciertas reglas (esto se parece un poco al cálculo de m.c.m. o mínimo común múltiplo pero no es lo mismo):

1. Empezar dividiendo por 2, que es el número primo más bajo
2. Si el divisor divide a todos los números, se utiliza. Si no se pudo utilizar, se trata de utilizar el siguiente número primo.
3. Si no existe un número que divida a todos los números, termina el proceso.

Ejemplo: calcularemos el M.C.D. de 324 y 168 para resolver el problema:

Paso a paso, cómo lo resolví:

Fila 1:

Tengo 324 y 168
Por ser los 2 números pares, utilizo el número primo 2

Fila 2:
Debajo de cada número anoto los resultados de cada división por 2.
Ahora tengo 162 y 84
Vuelvo a usar el 2 porque los números siguen siendo pares, aún se pueden dividir por 2.

Fila 3:
Debajo de 162 y 84 anoto los resultados de dividirlos por 2.
Ahora tengo 81 y 42. Para seguir utilizando el 2 necesitaría que ambos fueran divisibles por 2.
Pero no lo son. En cambio, ambos son divisibles por 3. Utilizo 3.

Fila 4:
Debajo de 81 y 42 anoto los resultados de dividirlos por 3.
Ahora tengo 27 y 14. Ya no hay un divisor común a ambos. Fin del proceso.

En la columna de la derecha me quedaron los divisores usados: 2, 2 y 3.

Multiplicándolos obtengo 12.

La respuesta al problema es: el carpintero debe cortar cuadrados de 12 x 12 cm. para aprovechar todo el material obteniendo los trozos de mayor tamaño posible.

Como dato adicional: el 27 y el 14 que quedaron al final se interpretan como que la plancha de madera puede dividirse en una cuadrícula de 27 x 14 trozos. Es decir, se obtendrán 378 cuadrados.

Pista: notar que los divisores nunca van hacia atrás. Si después que se pasó al 3 o al 5 parece que el 2 vuelve a servir, algo se hizo mal.

Aquí otro problema, con una solución curiosa:

Tenemos un cubo de 100 x 100 x 100 cm. de lado, hay que dividirlo obteniendo los cubos más grandes posibles.

El método del M.C.D. nos dice que el cubo más grande que podemos obtener de un cubo de 100 cm de lado es... un cubo de 100 cm. de lado. Es decir, ¡la solución óptima es que dejarlo como está!

Un problema más

Nos donan 3 bolsas de golosinas. Una de caramelos, con 100 caramelos. Otra de chupetines, con 80 chupetines, y otra de chocolates, con 30 chocolates.

El donante pide máxima transparencia: que armemos bolsas de forma que todas contengan exactamente lo mismo y que no sobre absolutamente nada, que hasta el último caramelo sea repartido.

Como se ve, las cantidades iniciales son divisibles por 2.

Los resultados que siguen no pueden dividirse por 2 ni por 3 (deben ser todos por el mismo número) pero sí por 5.

La tercera línea de resultados contiene números que ya no tienen un divisor en común por lo que nos detenemos allí.

Ya tenemos información muy valiosa: la cantidad de bolsas será el producto de los factores: 10 bolsas.

Y la composición de cada una son los números finales: 10 caramelos, 8 chupetines y 3 chocolates.

Incluso estamos en condiciones de sugerirle al donante que la próxima vez aporte 40 chocolates en lugar de 30, si desea más bolsas no tan cargadas:

(20 bolsas con 5 caramelos, 4 chupetines y 2 chocolates)

Pequeña conclusión

Ya hemos conocido Factorización, cálculo de Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) y de Máximo Común Divisor (M.C.D.)

No será la última vez que se los use, como dije, es sólo el comienzo. Dejo unos consejos de uso:

• Cuando el problema se trate de "Cuánto es lo mínimo necesario", "cuándo coincidirá", "cuándo volverán a llegar juntos", etc., siempre que hablemos de dos o más sucesos o cantidades repetitivas, debe intentarse con m.c.m
• Cuando se busque obtener una distribución óptima, o máxima, debe intentarse con M.C.D.
• Como veremos en la próxima Parte 5, con M.C.D. se logra la máxima simplificación de una fracción o número racional.

Nos vemos en la próxima.