Es un hecho. En estos primeros días mis urgencias pasan más por la matemática que por Python. Tengo varias razones poderosas.
Como explico en esta otra historia, no quisiera usar Python solamente para calcular sumatorias de importes de ventas. Lo hice durante 30 años. Con Clipper y luego con Visual Fox Pro. Y con JavaScript y PHP.
Python es computación científica (por lo menos para mí, no me desilusionen) y necesito nuevos conocimientos.
En realidad me conformaba con aprender sobre estadística, por eso del Análisis de Datos, pero rápidamente me dí cuenta de que la estadística no es posible sin matemáticas. Y avanzadas.
Además, Stef está comenzando con matemáticas de cierta dificultad y no se va a detener durante muchos años. Por el momento soy su profesor - mentor - tutor. Pero es poca la ventaja que le llevo. No debo dejar de aprender. SIN EMBARGO creo que tengo cierto talento para enseñarle, le planteo problemas intimidantes pero al final la enseñanza es que aplicando la técnica con orden, todo se resuelve. Le está perdiendo el miedo a los números y, al mismo tiempo, descubre que tiene poder sobre ellos. Y sobre todo lo que existe. Bueno, así es la matemática.
Sé que esto también servirá a los que lean estas historias.
Les presento a la fracción más simple;
Una clasificación para las fracciones:
a- Fracción propia Es una fracción donde el numerador es menor o igual que el denominador. En este caso, 3/4 representa una unidad dividida en 4 partes, de las cuales se toman 3, y se representa gráficamente como:
b- Fracción impropia Es una fracción donde el numerador es mayor que el denominador. En este caso, 7/2 representa una unidad dividida en 2 partes, de las cuales se toman 7, y se representa gráficamente como... Un momento. ¿Cómo tomamos 7 partes de 2? En principio la representación gráfica es:
En efecto, 7/2 es un racional válido. Que nos conduce al siguiente tipo de fracción.
c- Fracción Mixta Es otra forma de representar fracciones impropias. Este racional tiene una parte entera y una fraccionaria. 7/2 puede representarse también como 3 1/2
¡Un caso de la vida real!
Juan, María y Roberto encargan medio kilo de pan cada uno a Matías. Matías va a la panaderia y le pide al panadero "tres medios kilos de pan". El panadero prepara 3 bolsas de medio kilo cada una.
Matías se retira con
(fracción impropia), pero a la vez es
de pan (fracción mixta). Y el panadero, sin estudiar matemáticas, también lo entendió.
d- Fracciones aparentes Reciben este nombre porque si se divide el denominador por el numerador se obtiene un entero. En el ejemplo, 256/32 es sencillamente 8.
Conversión de impropia a mixta
El numerador debe dividirse por el denominador.
El resultado será la parte entera de la fracción mixta, y el resto será el nuevo numerador.
El denominador queda igual.
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Conversión de mixta a impropia
- La parte entera se multiplica por el denominador.
- El producto se suma al numerador y el resultado será el nuevo numerador.
- El denominador queda igual.
Fracciones equivalentes - identificación
Las fracciones equivalentes son las que representan la misma cantidad a pesar de escribirse distinto.
Por ejemplo las siguientes fracciones son equivalentes.:
Para determinar si dos fracciones son equivalentes:
- Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el resultado se anota debajo de la primera (números en negro)
- Se multiplica el numerador de la segunda por el denominador de la primera y el resultado se anota debajo de la segunda (números en rojo)
- Si el resultado es el mismo, son equivalentes.
Comparación de fracciones mixtas
Multiplicación por un mismo número. Fracciones equivalentes.
Multiplicando numerador y denominador por un mismo número se obtiene una fracción equivalente. Es decir, el valor de la fracción no cambia. Esta forma de llegar a una fracción equivalente se conoce como amplificación.
En este ejemplo "3/4" se multiplicó por 2 y luego nuevamente por 2. El valor no se alteró pues se obtuvieron fracciones equivalentes.
Graficar fracciones en la recta numérica.
Para mostrar una fracción en la recta numérica se divide la unidad en tantas partes como indique el denominador y se marca en la parte indicada por el numerador.
Suma y resta con igual denominador
Se suman o restan los numeradores, se utiliza el mismo denominador.
Suma y resta entre fracciones mixtas o mixtas e impropias con igual denominador
Todas las fracciones mixtas deben convertirse a impropias y luego sumar o restar.
Suma y resta entre fracciones con diferente denominador
El procedimiento es un poco más complicado pero no es difícil.
Se requiere dominar el proceso de cálculo de mínimo común múltiplo (m.c.m.) ya explicado en la Parte 3.
- Se obtiene el m.c.m. de todos los denominadores. Este será el denominador del resultado.
- El denominador del resultado se divide por el denominador de cada fracción involucrada, y el resultado se multiplica por el numerador.
- Los distintos resultados se suman y restan y ese será el numerador del resultado.
Multiplicación de fracciones
Se multiplican todos los numeradores para obtener el numerador del resultado, y todos los denominadores para llegar al denominador del resultado.
Si hay fracciones mixtas se convierten a impropias.
Si hay números enteros se asume que tienen denominador 1.
División de fracciones
La división se resuelve también multiplicando, pero numerador con denominador y denominador con numerador. Como se muestra aquí (los colores indican cómo se multiplica y dónde va el resultado):
Si hay fracciones mixtas se convierten a impropias.
Si hay números enteros se asume que tienen denominador 1.
Signos de agrupación
Cuando hay operaciones entre signos de agrupación (paréntesis) se resuelven primero las operaciones dentro de los paréntesis. Luego, cuando se obtiene una fracción, se procede a seguir la operación con las fracciones que están afuera de los paréntesis.
Es importante simplificar tanto como se pueda:
Simplificación extrema
Para lograr la máxima simplificación de una fracción utilizamos el método del M.C.D. (Máximo Común Divisor) visto en la Parte 4.
Simplemente hay que buscar el M.C.D. del numerador y del denominador:
Fracciones complejas
Esta es una fracción compleja:
La resolución es:
Paso 1: resolver la parte superior. Es una resta de fracciones de diferente denominador, tema que ya vimos en esta Parte 5.
Paso 2: resolver la parte inferior. Es una suma de fracciones de diferente denominador, tema que ya vimos en esta Parte 5.
Esta es otra fracción compleja (más compleja):
No hay que alarmarse. Hay que considerarlas una especie de fracciones "anidadas".
¿Ven la operación 1/2 - 1/4 abajo de todo? Es una operación, pero su resultado a su vez es el denominador para el numerador 1 que hay justo arriba. Hay que llegar a que ese denominador sea una sola fracción o un entero si es posible.
Si el resultado de 1/2-1/4 se puede simplificar hasta un entero, perfecto. Si no, habrá que resolverlo como división con el numerador "1" que tienen justo encima . Luego le sumamos el 1 que tiene a la izquierda. Y el resultado pasará a ser el denominador debajo del numerador 1 que hay arriba de todo.
Veámoslo paso a paso.
Paso 1: Resolver la resta de fracciones de diferente denominador que tenemos abajo de todo.
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