Aritmética Parte 3: método infalible para mcm

 

Problemas como: "A" pasa cada 4 días y "B" pasa cada 9 días. Si hoy coincidieron ¿cuándo coincidirán de nuevo? son problemas de mcm (mínimo común múltiplo) porque:

"A" pasa dentro de 4, 8, 12, 16, 20 etc. días - Es decir, múltiplos de 4.

"B" pasa dentro de 9, 18, 27, 36, 45, etc. días - Es decir, múltiplos de 9.

Cada pasada es un múltiplo. La próxima coincidencia sería el próximo múltiplo en común de los dos, el más cercano.

Esto es precisamente el mínimo común múltiplo.

La definición de mcm dice que se calcula «multiplicando los factores comunes y no comunes al mayor exponente»

Pero por ahora dejaremos de lado la definición y veremos un método muy práctico.

En la Parte 2 vimos cómo factorizar un número. Con un buen dominio de la factorización, el cálculo del mcm es bastante simple.

El secreto es factorizar en simultáneo todos los números a los que hay que calcularles el mcm, pero factorizar con ciertas reglas:

1. Empezar dividiendo por 2, que es el número primo más bajo
2. Si el divisor divide por lo menos a uno de los números, se utiliza. Si no se pudo utilizar, se trata de utilizar el siguiente número primo.
3. Si se pudo utilizar, debajo del número al que divide se anota el resultado de la división
4. Debajo de los números que no se pudieron dividir se repiten esos mismos números
5. Si todos los números quedaron en 1, terminar
6. Si no, intentar de nuevo con el mismo divisor
7. Volver al paso 2

Ejemplo: calcular el mcm de 36, 20 y 90

Paso a paso, cómo lo resolví:

Fila 1:

Tengo 36, 20 y 90.
Por ser los 3 números pares, utilizo el número primo 2

Fila 2:
Debajo de cada número anoto los resultados de cada división por 2.
Ahora tengo 18, 10 y 45.
Vuelvo a usar el 2 porque hay 2 números (18 y 10) que aún se pueden dividir por 2.

Fila 3:
Debajo de 18 y 10 anoto los resultados de dividirlos por 2, debajo del 45 repito el 45 ya que con el divisor 2 no pude hacerlo.
Ahora tengo 9, 5 y 45.
El 2 ya no me sirve, el siguiente primo para intentar es el 3 y veo que por lo menos con uno de los números funcionará, así que lo uso.

Fila 4:
Debajo de 9 y 45 anoto los resultados de dividirlos por 3, debajo del 5 repito el 5 ya que con el divisor 3 no pude hacerlo.
Ahora tengo 3, 5 y 15.
Vuelvo a usar el 3 porque hay 2 números (3 y 15) que aún se pueden dividir por 3.

Fila 5:
Debajo de 3 y 15 anoto los resultados de dividirlos por 3, debajo del 5 repito el 5 ya que con el divisor 3 no pude hacerlo.
Ahora tengo 1, 5 y 5
El 3 ya no me sirve, el siguiente primo para intentar es el 5 y veo que por lo menos con uno de los números funcionará, así que lo uso.

Fila 6:
Divido los últimos números por 5 y en la fila me queda 1-1-1. Es el requisito para detenerse.
En la columna de la derecha me quedaron los divisores usados: 2, 2, 3, 3 y 5

Multiplicándolos obtengo 180.

¡Este es el mínimo común múltiplo de 36, 20 y 90!

Un ejemplo más: 720, 600 y 540.

Pista: notar que los divisores nunca van hacia atrás. Si después que se pasó al 3 o al 5 parece que el 2 vuelve a servir, algo se hizo mal.

Y para finalizar, la solución al problema de los satélites, usando mínimo común múltiplo:

Hay 2 satélites con la misma trayectoria. El "Giga 1" completa una órbita cada 63 minutos, y el "Giga 2" la completa cada 48 minutos. 

Hace 55 minutos pasaron por encima nuestro y nos perdimos verlos juntos. ¿Cuando coincidirán de nuevo?

Las órbitas de Giga 1 y Giga 2 coinciden cada 1008 minutos, que son 16 horas 48 minutos. Como el problema dice que pasaron hace 55 minutos, faltan 15 horas y 53 minutos para que vuelvan a coincidir.

 

¡Hasta la próxima!