Aritmética Parte 2: Números primos y factorización.

¿Cómo va?

Tengo muchas ganas de enseñarles cómo resolví el siguiente problema:

Hay 2 satélites con la misma trayectoria. El "Giga 1" completa una órbita cada 63 minutos, y el "Giga 2" la completa cada 48 minutos. Hace 55 minutos pasaron por encima nuestro y nos perdimos verlos juntos. ¿Cuando coincidirán de nuevo?

Cuando vean la solución les encantará lo fácil que es.

Pero para eso deberemos aprender rápidamente 2 temas. Esta Parte 2 la dedicaremos a Números Primos y Factorización.

Números Primos

Los números primos son números que tienen una característica especial: solamente pueden dividirse (hablamos de división exacta, sin decimales y sin resto) por 1 y por sí mismos. Nada más.

Esto es lo que significa al decir "a es DIVISIBLE por b". A dividido B da resultado exacto, sin decimales, y con resto igual a 0.

Los números primos son divisibles por 1 y por sí mismos.

Por ejemplo, 1051. Claro, podemos calcular 1051 / 2 y eso da 525.5 Pero no es lo que buscamos. Como dije arriba, la división debe ser exacta, sin decimales y sin resto.

No existe número por el cual se pueda dividir a 1051 y que cumpla ese requisito. Si por ejemplo nos fijamos en 1050 (¡sólo un número por debajo!) podremos dividirlo por 2, 5, 10, 14, y varios más.

Decimos que 1051 es un número primo, y 1050 es un número compuesto. Todos los números (el 4, el 6, el 8, el 9) que no son primos, son compuestos.

La lista de números primos no comienza en 1, el 1 está excluido. El primer número primo es el 2.

Podemos ver que 2 solamente puede dividirse por 1 y por sí mismo, así que es primo (otra curiosidad: 2 es el único número primo par. Esto se debe a que todos los demás números pares son divisibles al menos por 1, por 2 y por sí mismos, y ya no son primos).

Sigue el 3, en la misma situación.

El 4 no, porque se puede dividir también por 2. Es compuesto.

¡El 5 sí es primo!

Le siguen el 7, el 11, el 13, el 17, el 19, el 23, y así hasta el infinito.

¿Cómo averiguar si un número es primo?

Para averiguar si un número es primo hay que dividirlo por los distintos números primos comenzando en 2: por 2, por 3, 5, 7, 11, etc.

Si alguna de las divisiones da resultado EXACTO (sin decimales ni resto), paramos allí y decimos que el número no es primo.

Pero si lo que sucede de pronto es que el resultado (cociente) de la división nos da un número menor que el divisor, el número es PRIMO.

Ejemplo: el 47.

47 / 2 = 23.5 (no da exacto, seguimos).

47 / 3 = 15.66666 (por 3 tampoco).

47 / 5 = 9.4 (5 tampoco da exacto).

47 / 7 = 6.714285. Tampoco da un resultado exacto diviendo por 7, pero aquí llegamos a algo: el cociente (6.714285) resulta ser menor que el divisor (7). No hace falta continuar. 47 es un número primo.

Ya tenemos lo suficiente para pasar a factorización, antes de calcular cuando se verán juntos los satélites Giga 1 y Giga 2.

Factorización

La factorización es expresar un número cualquiera en forma de "producto de números primos".

Por ejemplo:

Ciertamente:

108 = 4 . 27

Esto, que puede parecer una forma complicada de decir "108", nos permitirá aprender poderosas herramientas matemáticas.

Claro, al principio parece imposible saber que 108 equivale a 2² . 3³, pero vamos a ver la forma de saberlo. Esa forma es la factorización, el tema de hoy.

El procedimiento seguido se parece un poco a lo que hicimos antes para comprobar si un número era primo: dividir por números primos comenzando en 2. Esta vez vamos a requerir que la división sea exacta.

Se probó dividir 108 por el primer número primo, 2. Funcionó y dió 54.

Se probó dividir 54 por el primer número primo, 2. Funcionó y dió 27.

Se probó dividir 27 por el siguiente número primo, 3, porque 2 ya se veía que no serviría. Funcionó y dió 9.

Se probó dividir 9 por el siguiente número primo, 3, porque 2 ya se veía que no serviría. Funcionó y dió 3.

Se probó dividir 3 por el siguiente número primo, 3, porque 2 ya se veía que no serviría. Funcionó y llegamos a 1. Fin del proceso.

En la columna derecha nos quedaron 2-2-3-3-3.

Eso debe expresarse como multiplicación: 2 . 2 . 3 . 3 . 3

En efecto, la multiplicación 2 . 2 . 3 . 3 . 3 equivale a (en realidad es igual a) 108.

E incluso se puede refinar expresándolo como potencia, ya que 2 . 2 es 2 al cuadrado. Y 3 . 3. 3 es 3 al cubo. De allí llegamos a:

Así se ha factorizado 108.

Otros ejemplos de factorización:

107 es un número primo, así que la factorización no puede seguir de allí. La solución es: 214 = 2 . 107

224 se expresa como 2.2.2.2.2.7 :

Y 1377 es 3.3.3.3.17 : 

En la próxima aprenderemos sobre mínimo común múltiplo y terminamos de resolver el problema de los satélites.